PROBLEMA PARABOLA

TRACCIA N°1

Le rette di equazione y= 3x - 3 e y= - 3x + 21 si intersecano in un punto V e incontrano l'asse x nei punti A e B. Determina e rappresenta graficamente l'equazione della parabola che ha vertice in V e passa per A e B.

DATI:

- La retta n°1 (possibile denominarla con la lettera r) : y= 3x - 3

- La retta n°2 (possibile denominarla con la lettera s) : y= - 3x + 21

- La retta r si interseca con la retta s in V, punto appartenente alla parabola nonchè proprio vertice

- La retta r si interseca con l'ascissa nel punto A

- La retta s si interseca con l'ascissa nel punto B

RICHIESTA

- Determinare l'equazione della parabola

- Rappresentare l'equazione della parabola con gli annessi punti V, A e B

RISOLUZIONE

Considerando che l' equazione canonica della parabola è

$\gamma \,\,:\,\,\,y\,\,\, = \,\,\, a \,{x^2} + \,\,b\,x\,\, + \,\,c$

determiniamo in primis il punto V tramite il metodo di intersezione ( in questo caso si procede con il metodo di sostituzione) delle nostre due rette r ed s e dopodichè saremo pronti a proseguire per il passaggio successivo:

$\begin{gathered} V:\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,y\,\, = \,\,3\,x\,\, - \,\,3 \hfill \\ \,\,y\,\, = \,\, - \,3\,x\,\, + \,\,21 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,3\,x\,\, - \,\,3\,\,\, = \,\, - \,3\,x\,\, + \,\,21 \hfill \\ \,\,y\,\, = \,\,3\,x\,\, - \,\,3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,6\,x\,\, = \,\,24 \hfill \\ \,\,y\,\, = \,\,3\,x\,\, - \,\,3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,x\,\, = \,\,4 \hfill \\ \,\,y\,\, = \,\,9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Dopo aver eseguito i calcoli si ottengono le coordinate del punto V (4 ; 9). Ora importante è trovare le coordinate di A e B in quanto sono punti appartenenti alla parabola. Nuovamente si applica l'intersezione della retta r con l'ascissa per avere il punto A e l'intersezione della retta s con l'ascissa per aver il punto B:

Punto A:

$A:\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,y\,\,\, = \,\,\,3\,x\,\, - \,\,3 \hfill \\ \,\,y\,\,\, = \,\,\,0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,x\,\,\, = \,\,\,1 \hfill \\ \,\,y\,\,\, = \,\,\,0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Punto B :

$B:\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,y\,\,\, = \,\,\, - \,3\,x\,\, + \,\,21 \hfill \\ \,\,y\,\,\, = \,\,\,0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,x\,\,\, = \,\,\,7 \hfill \\ \,\,y\,\,\, = \,\,\,0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Dunque i nostri due punti sono rispettivamente A( 1; 0) e B ( 7;0). Ora è è possibile trovare l'equazione della parabola presa in questione. Come è stato premesso prima, l'equazione canonica della parabola è

$\gamma \,\,:\,\,\,y\,\,\, = \,\,\, -a\,{x^2} + \,\,b\,x\,\, +\,\,c$

sostituendo ai valori x ed y le coordinate dei tre punti qui trovati otterremo tre equazioni che con un sistema forniranno le incognite a, b e c che infine ci permetteranno di trovare l'equazione della parabola. Utilizzando sempre il sistema consegue ciò: 

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \,\,A\,\,\, \in \,\,\,\gamma \hfill \\ \,\,B\,\,\, \in \,\,\,\gamma \hfill \\ \,\,C\,\,\, \in \,\,\,\gamma \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,a\,\, + \,\,b\,\, + \,\,c\,\,\, = \,\,\,0 \hfill \\ \,\,49\,a\,\, + \,\,7\,b\,\, + \,\,c\,\,\, = \,\,\,0 \hfill \\ \,\,16\,a\,\, + \,\,4\,b\,\, + \,\,c\,\,\, = \,\,\,9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,c\,\,\, = \,\,\, - \,a\,\, - \,b \hfill \\ \,\,49\,a\,\, + \,\,7\,b\,\, - \,a\,\, - \,\,b\,\,\, = \,\,\,0 \hfill \\ \,\,16\,a\,\, + \,\,4\,b\,\, - \,\,a\,\, - \,\,b\,\,\, = \,\,\,9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \,\,c\,\,\, = \,\,\,7\,a \hfill \\ \,\,48\,a\,\, + \,\,6\,b\,\,\, = \,\,\,0 \hfill \\ \,\,16\,a\,\, - \,\,32\,a\,\, + \,\,7\,a\,\,\, = \,\,\,9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\, - \,9\,a\,\,\, = \,\,\,9 \hfill \\ \,\,6\,b\,\,\, = \,\,\, - \,48\,a \hfill \\ \,\,c\,\,\, = \,\,\,7\,a \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} \,\,a\,\,\, = \,\,\, - \,1 \hfill \\ \,\,b\,\,\, = \,\,\,8 \hfill \\ \,\,c\,\,\, = \,\,\, - \,7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Dunque

$\gamma \,\,:\,\,\,y\,\,\, = \,\,\, - \,{x^2} + \,\,8\,x\,\, - \,\,7$

sarà l'equazione della parabola cercata