I TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Disegniamo un triangolo rettangolo LMN, retto in N e indichiamo le misure dei lati e angoli, secondo le convenzioni appena stabilite.

Tracciamo la circonferenza goniometrica con centro in L.

circonferenza.png


Dalla figura si nota che all'interno del triangolo LMN vi è un altro triangolo rettangolo LPH retto in H.
Poichè questi due triangoli sono simili (cfr. criteri di similitudine dei triangoli rettangoli) possiamo scrivere le seguenti proporzioni:

MN : LM = PH : LP oppure LN : LM = LH : LP

e,siccome LP = 1, in quanto raggio della circonferenza goniometrica,

e

si ottiene:


ovvero



e

ovvero


Dalle due uguaglianze possiamo dedurre il PRIMO TEOREMA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI:

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto o per il coseno dell'angolo (acuto) adiacente al cateto.
cateto = ipotenusa x seno dell'angolo opposto:



cateto = ipotenusa x coseno dell'angolo adiacente:










triangolo.png




Consideriamo ancora la figura 1. Poichè i due triangoli rettangoli LPH e LMN sono simili, possiamo scrivere anche le seguenti proporzioni:
MN : LN = PH : LH

da cui:
MN / LN = sen l / cos l = tg l oppure LN / MN = cos l / sen l = cotg l


Scritte nella forma:

MN = LN tg l ovvero l = m tg l

LN = MN cotg l ovvero m = l cotg l


Dalle due uguaglianze possiamo dedurre il SECONDO TEOREMA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI:

In un triangolo rettangolo la misura di n cateto è uguale a quella dell'altro cateto moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al cateto o per la cotangente dell'angolo (acuto) adiacente al cateto.


cateto = altro cateto x tangente dell'angolo opposto ovvero l = m tg l

cateto = altro cateto per cotangente dell'angolo adiacente ovvero l = cotg m
triangolo_ret.png